三角形中线

定义

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

 性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c.

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：

　　ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ;

　　mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ;

　　mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 。

　　(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对边的中线长)

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

三角形中线证明

给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.(如上图)

解：连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.

在△DEC和△PEB中

∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.

∴△DEC≌△PEB(SAS).

∴CD=BP. S△DEC=S△PEB.

又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.

∴EP平行且等于1/2AC.

即EP平行且等于AF.

∴四边形AEPF为平行四边形(对边平行且相等的四边形为平行四边形)

∴AE=FP. S△EFP=S△AEF.

这样△ABC的三条中线CD,BF,AE就构成了△BFP.

∵BF为中线，平分△ABC面积.

∴S△BAF=S△BFC.

又∵EF为△BFC中线，平分△BFC面积.

∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.

又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积.

∴S△ADC=S△BDC.

又∵DE平分△BDC面积.

∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.

∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.

∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积.

∴S△BAE=S△AEC.

又∵EF平分△AEC.

∴S△AEF=S△EFC.

∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC

∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP

 =1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC

 =3/4 S△ABC

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