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2018中考数学压轴题(43)

2018-05-16 10:11

来源:新东方在线

作者:

  如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.21世纪教育网版权所有

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)如图2,当动点P只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P作PF⊥BC于点F,试问△PDF的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由.

  (3)当点P在抛物线上运动时,将△CPD沿直线CP翻折,点D的对应点为点Q,试问,四边形CDPQ是否成为菱形?如果能,请求出此时点P的坐标,如果不能,请说明理由.

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  考点分析:

  二次函数综合题.

  题干分析:

  (1)利用待定系数法求二次函数的解析式;

  (2)设P(m,﹣3/4 m2+9/4m+3),△PFD的周长为L,再利用待定系数法求直线BC的解析式为:y=﹣3/4x+3,表示PD=﹣3/4m²+3m,证明△PFD∽△BOC,根据周长比等于对应边的比得:△PFD的周长/△BOC的周长=PD/BC,代入得:L=﹣9/5(m﹣2)2+36/5,求L的最大值即可;

  (3)如图3,当点Q落在y轴上时,四边形CDPQ是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ,PQ=PD,∠PCQ=∠PCD,又知Q落在y轴上时,则CQ∥PD,由四边相等:CD=DP=PQ=QC,得四边形CDPQ是菱形,表示P(n,﹣3/4 n2+9/4n+3),则D(n,﹣3/4 n+3),G(0,﹣3/4 n+3),利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论。

  解题反思:

  本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定,将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题,此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长,并利用相似比或勾股定理列方程解决问题。

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