如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.21世纪教育网版权所有

　　(1)求抛物线的解析式;

　　(2)如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值?如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由.

　　(3)当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形?如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由.

　　考点分析：

　　二次函数综合题.

　　题干分析：

　　(1)利用待定系数法求二次函数的解析式;

　　(2)设P(m，﹣3/4 m2+9/4m+3)，△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣3/4x+3，表示PD=﹣3/4m²+3m，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：△PFD的周长/△BOC的周长=PD/BC，代入得：L=﹣9/5(m﹣2)2+36/5，求L的最大值即可;

　　(3)如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P(n，﹣3/4 n2+9/4n+3)，则D(n，﹣3/4 n+3)，G(0，﹣3/4 n+3)，利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论。

　　解题反思：

　　本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题。

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