如图，抛物线y=ax2﹣3/2x﹣2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为(4，0).

　　(1)求抛物线的解析式;

　　(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标;

　　(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.

　　(2)由(1)的函数解析式可求得：A(﹣1，0)、C(0，﹣2);

　　∴OA=1，OC=2，OB=4，

　　即：OC2=OA•OB，

　　又∵OC⊥AB，

　　∴△OAC∽△OCB，

　　∴∠OCA=∠OBC;

　　∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

　　∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径;

　　∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为(1.5，0).

　　(3)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC的解析式为：y=x﹣2;

　　设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

　　x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0;

　　∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0，即b=4;

　　∴直线l：y=x﹣4.

　　由于S△MBC=BC×h，

　　当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时，

　　△ABC的面积最大

　　所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，

　　考点分析：

　　二次函数综合题.

　　题干分析：

　　(1)该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可.

　　(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标.

　　(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M.

　　解题反思：

　　考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键.

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