三角形的半角定理

做三角形内切圆，在AB,AC,BC边上的切点分别为D，E，F l=(a+b+c)/2

则有r=(l-a)tan(A/2)=(l-b)tan(B/2)=(l-c)tan(C/2)

半角定理还可以写成tanA/2=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanB/2=[1/(s-b)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，tanC/2=[1/(s-c)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。

其中A、B、C为三角形内角的符号，s=1/2(a+b+c)

证明：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，得

1-cosA=(2ab-b^2-c^2+a^2)/2bc=[a^2-(b-c)^2]/2bc=(a+b-c)(a-b+c)/2bc

1+cosA= (2ab+b^2+c^2-a^2)/2bc=[(b+c)^2-a^2]/2bc=(a+b+c)(b+c-a)/2bc

设a+b+c=2s，那么-a+b+c=2(s-a)，a-b+c=2(s-b)，a+b-c=2(s-c)。

因此上面结论可以写成：1-cosA=2(s-c)2(s-b)/2bc=2(s-b)(s-c)/bc

1+cosA=2s2(s-a)/2bc=2s(s-a)/bc。

因为A/2是锐角，所以把上面所得到的结果代入公式tanA/2=√(1-cosA)/(1+cosA)，就可以得到tanA/2=√[(s-b)(s-c)/s(s-a)]。

又因为s-a>0，所以上面的式子还可以写成：tanA/2=√[(s-a)(s-b)(s-c)/s(s-a)^2]=[1/(s-a)]√[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。由此便证明了半角定理。

半角定理和三角函数的半角公式内容不同，大家不要弄混淆了。

又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积.

∴S△ADC=S△BDC.

又∵DE平分△BDC面积.

∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.

∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.

∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积.

∴S△BAE=S△AEC.

又∵EF平分△AEC.

∴S△AEF=S△EFC.

∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC

∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP

=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC

=3/4 S△ABC

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