内角和

在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。

证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》

如何证明三角形的内角和等于180°

方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°。

方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°。

例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°

证明：做BC的延长线至点D，过点C作AB的平行线至点E

∵AB∥CE(已知)

∴∠ABC=∠ECD(两直线平行，同位角相等)，∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等)

∵∠BCD=180°

∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°(等式的性质)

∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°(等量代换)

在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180度，但这不是我们所需要掌握的。

又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积.

∴S△ADC=S△BDC.

又∵DE平分△BDC面积.

∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.

∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.

∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积.

∴S△BAE=S△AEC.

又∵EF平分△AEC.

∴S△AEF=S△EFC.

∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC

∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP

=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC

=3/4 S△ABC

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